Berechnung der Prandtl Zahl von Gasen nach dem Idealgasansatz

Die Prandtl-Zahl wird als Analogiezahl eines Gases bzw. einer Flüssigkeit bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sich die für die Berechnung von Wärmeübertragungsvorgängen maßgebliche Nusselt-Zahl in der Regel als Funktion der Prandtl- und Reynolds-Zahl darstellen lässt. Die Prandtl-Zahl entspricht dem Verhältnis zwischen der durch innere Reibung (Viskosität) erzeugten Wärme und der abgeführten Wärme in einer Strömung

(1)
\begin{align} Pr=\frac{\nu}{a} \end{align}

und kennzeichnet damit den Unterschied zwischen Temperatur- und Geschwindigkeitsgrenzschicht. Für Pr>1 (Flüssigkeiten) ist der Impulstransport „zäher“ als der Wärmetransport. Der Geschwindigkeitsgradient in der Grenzschicht ist dann weniger steil als der Temperaturgradient, d.h. die Strömungsgrenzschicht ist dicker als die Temperaturgrenzschicht. Entsprechend umgekehrt sind die Verhältnisse für Pr<1 bei Gasen.
Obwohl die Prandtl-Zahl als eine dimensionslose Kennzahl in der Ähnlichkeitstheorie angewendet wird, ist sie ein reiner Stoffwert, da sie nicht von den physikalischen Parametern der Wärmeübertragungsvorgänge z.B. der Geometrie der Rohre abhängig ist. Die Prandtl-Zahl ist ein abgeleiteter Stoffwert und deshalb nur abhängig
von anderen Parametern.
Die Prandtl-Zahl ist ein abgeleiteter Stoffwert

(2)
\begin{align} Pr=\frac{\nu}{a} \end{align}

mit

(3)
\begin{align} \nu=\frac{\eta}{\rho} \end{align}

und

(4)
\begin{align} a=\frac{\lambda}{\rho*c_p} \end{align}

Damit erhält man

(5)
\begin{align} Pr+ \frac{\nu}{a}=\frac{\frac{\eta}{\rho}}{\frac{\lambda}{\rho*c_p}}\frac{\eta*c_p}{\lambda} \end{align}

D.h., die Prandtl-Zahl setzt sich aus der dynamische Viskosität η, der Wärmeleitfähigkeit λ und der wahren spezifischen Wärmekapazität cp zusammen. Bei konstantem Druck hängt die Prandtl-Zahl darum nur von Temperatur ab. Bei Bestimmung der Prandtl-Zahl eines idealen Einzelgases rechnet man vor allem η, λ und cp entsprechend der vorangegangenen Abschnitte aus, und setzt diese in die obige Gleichung ein. Dies gilt analog für Gasgemische.
Da die Prandtl-Zahlt eine abgeleitete Analogiezahl aus der kinematischen Viskosität und der Temperaturleitfähigkeit ist, ergibt sich ein Gültigkeitsbereich für die Temperatur von 300K – 5000K und für den Druck bis maximal pmax = 10 bar.

Tabelle der Funktionen zur Berechnung der Prandtl-Zahl für Einzelgase bzw. Gasgemische in ProcessExcel.
Funktionsname Eingabewerte mit Dimensionen
PE_IG_Prandtl_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_GS_Prandtl_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_Prandtl_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_Prandtl_xi Gaskomponenten in Massenanteilen , Temperatur in [°C]
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