Berechnung der Viskosität von Gasen nach dem Idealgasansatz

Unter der Viskosität versteht man die „Zähigkeit“ eines Fluides. Sie resultiert aus zwischenmolekularen Reibungskräften in einem Fluid und ist auch abhängig von der Kohäsion.

Die Viskosität charakterisiert vor allem das Strömungsverhalten eines Fluides. Je höher die Viskosität ist, desto zäher ist das Fluid. Diesen Effekt kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen. Bei Strömen gleiten die Moleküle aneinander vorbei. Um die Verzahnung zu überwinden benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften des vorliegenden Fluides definiert die Viskosität.

Experimentell lässt sich zeigen, dass die Kraft F, die nötig ist, um z.B. eine Schicht eines Fluides an einer Platte um den Betrag x zu bewegen direkt proportional ist zu der Fläche A, der Geschwindigkeit w und umgekehrt proportional zu dem Abstand x

(1)
\begin{align} F \sim A \end{align}
(2)
\begin{align} F \sim w \end{align}
(3)
\begin{align} F \sim \frac{1}{x} \end{align}

Hieraus ergibt sich

(4)
\begin{align} F = \eta \frac{A * w}{x} \end{align}

Die kinematische Viskosität ist das Verhältnis aus der dynamischen Viskosität und der Dichte

(5)
\begin{align} \nu = \frac{\eta}{\rho} \end{align}

Für Gase bei niedrigen Drücken (etwa 0,1 bis 10 bar) ist die Viskosität unabhängig vom Druck, sie nimmt jedoch mit der Temperatur zu.

Die Gleichung für dynamische Viskosität von Einzelgasen lässt sich gut aus der kinetischen Gastheorie für ideale Gase bei niedrigen Drücken ableiten. Sie lautet

(6)
\begin{align} \eta = 2,6695 *10^{-6} * \frac{\sqrt{T * M}}{\sigma^2 * \Omega_{11}^{(2,2)}} \end{align}

mit

(7)
\begin{align} \Omega_{11}^{(2,2)*} = F(T^{*}, \delta_{max}) \end{align}
Dabei sind
T absolute Temperatur [K]
M molare Masse [kg/kmol]
σ Moleküldurchmesser [10-10 m]
Ω11(2,2)* bezogenes Stoßintegral [-]
T* T/(ε/k) reduzierte Temperatur [-]
ε/k Potentialparameter [K]
δmax Polarisationsparameter [-]

Außer der Gleichung für die dynamische Viskosität von Einzelgasen wurde auch die Gleichung für die Wärmeleitfähigkeit aus der kinetischen Gastheorie abgeleitet. Die aus der kinetischen Gastheorie abgeleiteten Gleichungen haben den Vorteil, dass die mit einer gewissen Sicherheit über den mit Messungen belegten Bereich hinaus extrapoliert werden können, weil ihnen ein physikalisches Modell zugrunde liegt.

Das bezogene Stoßintegral Ω11(2,2)* stellt das Stoßintegral eines mit einem Kräftefeld versehenen Moleküls im Verhältnis zum Stoßintegral des Hartkugel-Modells (ohne Feldkräfte) dar. Es ist eine Funktion der reduzierten Temperatur T* und des Polarisationsparameters δmax. Für nichtpolare Gase ist δmax=0, was für die meisten Gase zutrifft. Die technisch wichtigen polaren Gase sind Wasserdampf mit δmax=1 und Ammoniak mit δmax=0,7. Polare Gase sind diejenigen Gase, deren Molekülaufbau unsymmetrisch ist. Deshalb findet bei einem Stoß an diesen
Molekülen nicht nur ein Impulsaustausch sondern auch ein Rotationsenergieaustausch statt. Die Näherungsfunktion für das bezogene Stoßintegral Ω11(2,2)* lautet

(8)
\begin{align} \Omega_{11}^{(2,2)*} = A + B * T^{*} + \frac{C*exp(E*T^{*})}{D+T^{*}} \end{align}

mit

(9)
\begin{align} A ... E = k_1 + k_2 *\delta_{max} + k_3 * \delta_{max}^2 + k_4 * \delta_{max}^3 + k_5 * \delta_{max}^4 \end{align}

Die Gleichung ist nur in dem Bereich gültig und weißt dort einen Fehler < 0,1 % auf.

Tabelle der Koeffizienten für die Berechnung des Stoßintegrals
k1 k2 k3 k4 k5
A 0,729036 -0,00597639 -0,0423904 0,0127259 -
B -0,0032061 0,000133156 0,000220197 0,000398762 -0,000143978
C 0,91273 0,0365189 0,401588 -0,0643597 -
D 0,0875694 0,135688 -0,0850365 0,0194639 -
E 0,0302068 -0,00525526 0,00807802 -0,00985306 0,00225982

Für den Bereich der reduzierten Temperatur 50 K < T* < 200 K gilt

(10)
\begin{align} \Omega_{11}^{(2,2)*} = \Omega_{11}^{(2,2)*} (50) - 0,08884 * ln(\frac{T^{*}}{50}) \end{align}

Der maximale Fehler liegt für die Näherungsfunktion in diesem Bereich bei T* = 100 K bei 2 %.

Die kinematische Viskosität des Einzelgases ergibt sichdann mit

(11)
\begin{align} \nu = \frac{\eta}{\rho} \end{align}

Die Viskosität eines Gasgemisches kann nicht mit der einfachen Mischungsregel aus den Werten der beteiligten Komponenten ermittelt werden, da in einem Gasgemisch nicht nur gleichartige Gasmoleküle aufeinander treffen, sondern auch verschiedene Gasmoleküle. Zur Berechnung der Viskosität eines Gasgemisches mit n Komponenten gilt

(12)
\begin{align} \eta_m + \Sigma_{i=1}^n\frac{\eta_i}{\Sigma_{k1}^n(\frac{\psi_k}{\psi_i}*A_{ik})} \end{align}

mit

(13)
\begin{align} A_{ik} = \frac{[1+(\frac{\eta_i}{\eta_k})^{0,5} * (\frac{M_k}{M_i})^{0,25}]^2}{2 * \sqrt{2} * (1 + \frac{M_i}{M_k})^{0,5}} \end{align}

bei i ≠ k und

(14)
\begin{equation} A_{ik} = 1 \end{equation}

bei i=k.

Die Berechnung der dynamischen sowie kinematischen Viskosität erfolgt nach den bekannten Berechnungsansätzen der Gaskinetik. Da keine Druckkorrektur vorgenommen wird, sind die Berechnungsansätze nur für Gase bis pmax=10 bar gültig. Bei der Berechnung der kinematischen Viskosität wird die Normdichte verwendet, weshalb keine Angabe des Absolutdruckes erforderlich ist. Die berechnete dynamische Viskosität wird in der Einheit [Pa*s] und die kinematische Viskosität in [m2/s] ausgeben.

Tabelle der Funktionen zur Berechnung der Viskosität für Einzelgase bzw. Gasgemische in ProcessExcel. Dynamische Viskosität in [Pa*s] bzw. kinematische Viskosität in [m2/s]
Funktionsname Eingabewerte mit Dimensionen
PE_IG_dViskosität_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_IG_kViskosität_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_GS_dViskosität_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_GS_kViskosität_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_dViskosität_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_dViskosität_xi Gaskomponenten in Massenanteilen , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_kViskosität_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_kViskosität_xi Gaskomponenten in Massenanteilen , Temperatur in [°C]
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