Berechnung der Wärmekapazität von Gasen nach dem Idealgasansatz

Die Wärmekapazität bezeichnet das Vermögen eines Stoffes, Energie in Form von thermischer Energie zu speichern. Sie wird im Allgemeinen durch das Formelzeichen c dargestellt. Die Wärmekapazität eines Stoffes gibt die Wärmemenge Q an, die diesem Stoff zugeführt werden muss, um diesen um 1 Kelvin zu erwärmen. Die Wärmekapazität ist eine extensive Größe und von der Masse des Stoffes abhängig. Ihre intensive Form wird analog als spezifische Wärmekapazität c bezeichnet. Experimente zeigen, dass die spezifische Wärmekapazität von der Temperatur abhängig ist, d.h. der jeweilige Stoff weist bei zwei unterschiedlichen Temperaturen zwei unterschiedliche Wärmekapazitäten auf.

Für die bei der Erwärmung bzw. Abkühlung dieses Stoffes übertragene Wärmemenge von T1 auf T2 wird deshalb die mittlere spezifische Wärmekapazität verwendet. Die mittlere spezifische Wärmekapazität ergibt sich formal mit

(1)
\begin{align} c|_{T_1}^{T_2} = \frac{1}{T_2-T_1} * \int_{T_1}^{T_2} c(T) * dT \end{align}

Die übertragene Wärmemenge Q ist dabei vom Verlauf c = c(T) abhängig und stellt deshalb eine Prozessgröße dar.

Unterscheidet man zwischen einer isobaren und einer isochoren Wärmezufuhr oder -abfuhr

(2)
\begin{align} c_p = (\frac{dq}{dT})_p \end{align}

und

(3)
\begin{align} c_v = (\frac{dq}{dT})_v \end{align}

dann ergibt sich aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik für ruhende geschlossene Systeme im reversiblen Fall

(4)
\begin{equation} dq = du + pdv \end{equation}

für cv

(5)
\begin{align} c_v + (\frac{dq}{dT})_v (\frac{du}{dT})_v \end{align}

Mit der Definition der Enthalpie

(6)
\begin{equation} dh = du + pdv + vdp \end{equation}

ergibt sich für cp

(7)
\begin{align} c_p + (\frac{dq}{dT})_p = (\frac{du}{dT})_p + p * (\frac{dv}{dT})_p (\frac{dh}{dT})_p \end{align}

Flüssige und feste Körper weisen bei Temperaturhänderungen nur geringe Volumenänderungen auf (dv=0). D.h., die spezifische isobare und isochore Wärmekapazitätsind näherungsweise gleich groß.
Grundsätzlich hängen die spezifischen Wärmekapazitäten von Gasen von der Temperatur und dem Druck ab. Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp ist dann nur temperaturabhängig.
Zur Berechnung der spezifischen isobaren Wärmekapazität von idealen Gasen können verschiedene Ansätze verwendet werden. Üblicherweise werden für die Ermittlung der spezifischen Wärmekapazitäten Polynomfunktionen verwendet.
Die Höhe des Polynoms richtet sich danach, wie kompliziert der Kurvenverlauf ist, wie groß der Temperaturbereich ist, den man darstellen will, und wie groß die Genauigkeit sein soll.
Die spezifische Wärmekapazität idealer Gase kann man zwar über gaskinetische Zusammenhänge aus spektroskopischen Messungen berechnen. Ein einfacher Ansatz für die Temperaturabhängigkeit lässt sich jedoch daraus nicht ableiten. Für die praktische Rechnung werden daher der Einfachheit halber Polynome verwendet.
Der Polynomansatz wird als einfaches mathematisches Verfahren angesehen, weil die Berechnung der Koeffizienten auf ein lineares Gleichungssystem hinausläuft, welches einfach lösbar ist. Daher werden Polynome für die näherungsweise Darstellung von vielen Funktionen sehr häufig verwendet.
In dem NASA-Bericht SP-3001 (1963) [1] werden Polynomgleichungen für die Ermittlung der wahren spezifischen Wärmekapazität und der spezifischen Enthalpie für einige wichtige Einzelgase bei Atmosphärendruck ( = 1,01325 bar) angegeben. Da man einen Temperaturgültigkeitsbereich von 300 bis 5000 K für die Gleichungen erzielen wollte, wurden jeweils zwei Polynome vierten Grades dafür angesetzt. Das erste Polynom gibt den Temperaturbereich von 300 bis 1000 K, das zweite den Bereich von 1000 bis 5000 K.
In [1] sind die Polynome für Berechnung der wahren spezifischen isobaren Wärmekapazität und der spezifischen Enthalpie von Einzelgasen im ersten Temperaturbereich von 300 bis 1000 K angegeben:

(8)
\begin{align} \frac{c_p}{R} = a_1 + a_2 * T + a_3 * T^2 + a_4 * T^3 +a_5 * T^4 \end{align}

und

(9)
\begin{align} \frac{h}{R*T} = a_1+\frac{a_2}{2}*T+\frac{a_3}{3}*T^2+\frac{a_4}{4}*T^3+\frac{a_5}{5}*T^4+\frac{a_8}{T} \end{align}

Analog werden die anderen sechs Koeffizienten (a9 bis a13 und a16) für den zweiten Temperaturbereich von 1000 bis 5000 K eingesetzt.
Es wurde hierbei vorausgesetzt, dass die spezifische Enthalpie beim Normzustand den Nullwert annimmt. Somit kann mit der folgenden Gleichung die mittlere spezifische Wärmekapazität beim konstanten Atmosphärendruck im ersten Bereich ermittelt werden.

(10)
\begin{align} c_p |_{T_N}^T + \frac{h(T)-h(T_N)}{T-T_N} = \frac{h(T)}{T-T_N} \\\frac{R*T}{T-T_N}*(a_1+\frac{a_2}{2}*T+\frac{a_3}{3}*T^2+\frac{a_4}{4}*T^3+\frac{a_5}{5}*T^4+\frac{a_8}{T}) \end{align}

Die wahre bzw. mittlere spezifische Wärmekapazität beim konstanten Druck für ein Gasgemisch ergibt sich aus

(11)
\begin{align} c_{p,m} = \Sigma\xi_i*c_{p,i} \end{align}

bzw.

(12)
\begin{align} c_{p,m}|_{T_N}^T=\Sigma\xi_i*c_{p,i}|_{T_N}^T \end{align}

Wenn die Volumenanteile der Gaskomponenten angegeben sind, ergibt sich

(13)
\begin{align} c_{p,m}=\frac{1}{M_m}\Sigma\Psi_i*c_{p,i}|_{T_N}^T*M_i \end{align}

bzw.

(14)
\begin{align} c_{p,m}|_{T_N}^T=\frac{1}{M_m}\Sigma\Psi_i*c_{p,i}|_{T_N}^T*M_i \end{align}

Die spezifische Wärmekapazität beim konstanten Volumen cv kann man aus der spezifischen Wärmekapazität beim konstanten Druck und der spezifischen Gaskonstante

(15)
\begin{equation} c_v=c_p-R \end{equation}

ermitteln. Dies gilt sowohl für Einzelgase als auch für Gasgemische, wenn die spezifische Gaskonstante des Gasgemisches bekannt ist.

Mithilfe der Stoffwertefunktionen des ProcessExcel Add-In, ist es möglich die isobaren und isochoren spezifischen Wärmekapazitäten in einem Temperaturbereich von 300 K bis 5000 K zu berechnen. Die untere Intervallgrenze bei der Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazitäten ist TN = 273,15 K. Die Berechneten spezifischen Wärmekapazitäten haben die Einheit [kJ/kgK].

Tabelle der Funktionen zur Berechnung der spezifischen Wärmekapazität für Einzelgase bzw. Gasgemische in ProcessExcel in [kJ/kgK]
Funktionname Eingabewerte und Dimensionen
PE_IG_cp/cv_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_IG_cpm/cvm_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_GS_cp/cv_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_GS_cpm/cvm_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_cp/cv_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_cp/cv_xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_cpm/cvm_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_cpm/cvm_xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
Bibliographie
1. Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung – FDBR – Fachbuchreihe
Band 1. Fachverband Dampfkessel-, Behälter- und Rohrleitungsbau e.V., Vulkan-Verlag Essen 1981, ISBN 3-8027-2270-1.
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