Berechnung der Wärmeleitfähigkeit von Gasen nach dem Idealgasansatz

Die Wärmeleitfähigkeit λ stellt das Vermögen eines Stoffes dar, thermische Energie zu transportieren. In Stoffen, in denen kein einheitliches Temperaturniveau vorherrscht, entstehen molekulare Wärmetransporte bzw. Wärmeleitung. Die Transportrichtung der Wärmeströme stimmt mit der Richtung des Temperaturgefälles überein. Der Zusammenhang zwischen übertragenem Wärmestrom und dem Temperaturgradienten ergibt sich mit dem Fourierschen Gesetz

(1)
\begin{align} q=-\lambda*\frac{dT}{dx} \end{align}

Die Wärmeleitfähigkeit in W/(m*K) kennzeichnet dabei den Wärmestrom, der in einer bestimmten Zeit durch eine 1 m² große Fläche einer 1 m dicken homogenen Wand geleitet wird, wenn sich die Oberflächentemperaturen der Wand um 1 K unterscheiden. Die Wärmeleitfähigkeiten verschiedener Stoffe werden experimentell bestimmt.
In festen Körpern erfolgt die Wärmeleitung durch die Weitergabe von Schwingungen zwischen Atomen. Auch in Flüssigkeiten und Gasen spielt sich dieser Prozess ab, jedoch zwischen den Molekülen. Bei elektrisch leitenden Körpern kommt als zweiter Mechanismus der Wärmeleitung die Bewegung der frei wandernden Ladungsträger hinzu. Daher verfügen elektrische Leiter über wesentlich bessere Wärmeleitfähigkeiten als elektrische Nichtleiter. Bei Metallen erreicht die Wärmeleitfähigkeit deshalb umso höhere Werte, je größer die elektrische Leitfähigkeit ist.
Im Vergleich zu festen Stoffen und Flüssigkeiten haben Gase die geringsten Wärmeleitfähigkeiten. Diese ist von der Temperatur abhängig. Ihr Wert nimmt mit zunehmender molarer Masse ab und mit steigender Temperatur und steigendem Druck zu.
Für Gase bei niedrigen Drücken (etwa 0,1 bis 10 bar) ist die Wärmeleitfähigkeit nahezu unabhängig vom Druck, sondern nur von der Temperatur abhängig.
Die Gleichung für Wärmefähigkeit eines Einzelgases lässt sich ebenso wie die dynamische Viskosität aus der kinetischen Gastheorie bei niedrigen Drücken (etwa 0,1 bis 10 bar) ableiten:

(2)
\begin{align} \lambda= 0,083232 * \frac{\sqrt{\frac{T}{M}}}{\sigma^2*\Omega_{11}^{(2,2)*}}*Eu \end{align}

In den Gleichungen für die Ermittlung von und werden dieselben Parameter angewendet. Die Gleichung für die Wärmeleitfähigkeit eines Einzelgases ohne die EuckenKorrektur beinhaltet die Wärmeleitung in einem Gas infolge der Translationsenergie der Moleküle. Da die Moleküle aber auch noch innere Energiebeträge enthalten können (Rotations- und Schwingungsenergie), muss diese Gleichung mit einem empirischen Faktor, der Eucken-Korrektur, versehen werden.

(3)
\begin{align} Eu+ 0,35424*\frac{c_v}{R}+0,468640,35424*\frac{c_p}{R}+0,1144 \end{align}

Die Eucken-Korrektur ist von der dimensionslosen Größe cv/R bzw. cp/R abhängig.
Dieser einfache Zusammenhang gilt nur für die nichtpolaren Gase. Bei den polaren Gasen ist die Korrektur zu groß. Dieses Problem wird durch einen weiten Korrekturfaktor berücksichtigt, der an die Wärmeleitfähigkeit von polaren Gasen sowie Wasserdampf (δmax=1) und Ammoniak (δmax=0,7) angepasst wird:

(4)
\begin{align} f_p=1-\delta_{max}^{0,1}*[0,04+0,58*exp(-0,97*T^*)] \end{align}

Damit sieht die Eucken-Korrektur für polare Gase so aus

(5)
\begin{align} Eu+ 0,35424*f_p*\frac{c_v}{R}+0,468640,35424*f_p*\frac{c_p}{R}+0,1144 \end{align}

Für die spezifischen Wärmekapazitäten cv und cp sind die wahre Werte einzusetzen.
Alle anderen Parameter werden wie bei der Ermittlung der dynamischen Viskosität berechnet. Die Gültigkeitsbereiche und Fehler der Gleichung für die Ermittlung des Stoßintegrals sind dabei identisch.
Zur Berechnung der Wärmleitfähigkeit von Gasgemischen stehen verschiedene Gleichungen zur Verfügung. Für ein Gasgemisch mit n Komponenten gilt

(6)
\begin{align} \lambda_m+ \Sigma_{i=1}^n\frac{\Psi_i*\lambda_i}{\Sigma_{k1}^n(\Psi_k*A_{ik}} \end{align}

mit

(7)
\begin{align} A_{ik}=\frac{[1+(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^{0,5}*(\frac{M_k}{M_i})^{0,25}]^2}{2*\sqrt2*(1+\frac{M_i}{M_k})^{0,5}} \end{align}

bei i≠k und Aik>=1 bei i=k.
Genauso wie bei der Viskosität ist diese Berechnungsmethode sehr komplex. Daher ist es einfacher, sie zu programmieren.

Tabelle der Funktionen zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit für Einzelgase bzw. Gasgemische in ProcessExcel in [W/m*K]
Funktionsname Eingabewerte und Dimensionen
PE_IG_lambda_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_GS_lambda_psi/xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_lambda_psi trockene Gaskomponenten in Volumenanteilen, Wasserdampfbeladung in [gL/kgW] , Temperatur in [°C]
PE_LuftIG_lambda_xi Gaskomponenten in Volumen-/Massenanteilen, Temperatur in [°C]
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