Modulbeschreibung Wärmeübertrager

Das Modul Wärmeübertrager berechnet die Wärmeübertragung zwischen zwischen zwei Strömen. Es werden zur Berechnung zwei Methoden verwendet: die Ausgleichstemperatur und die Betriebscharakteristik.

Methode A: Ausgleichstemperatur

Die Berechnung eines Wärmeübertragers über die Ausgleichstemperatur wird von Prof. Beckmann \cite{Beckmann2016} beschrieben und hergeleitet. Zur Herleitung des Ansatzes werden die folgenden Annahmen getroffen:

  • Der Wärmeübertrager wird durch eine Ortskoordinate x, welche Werte von 0 bis L annehmen kann, beschrieben.
  • Die Temperatur der Trennwand wird über der gesamten Länge des Apparates als konstant angenommen.
  • Der Wärmedurchgangskoeffizient k wird als konstant angenommen.
  • Die Wärmekapazitäten der Ströme werden als konstant angenommen, das heißt sie ändern sich nicht mit der Temperatur.
  • Die Außenwände werden als adiabat betrachtet, das heißt, es wird keine Wärme über diese an die Umgebung abgegeben.

Herleitung der Differentialgleichung

Die zu lösende Differentialgleichung wird am Beispiel des Gleichstromwärmeübertragers hergeleitet. Dazu wird ein Querschnittselement mit infinitesimaler Länge dx betrachtet. Aus der Betrachtung des Querschnittselements wird die Energiebilanz erhalten:

(1)
\begin{align} d\dot{Q} + d\dot{H}_1 -\dot{H}_2 \end{align}

Mit der kalorischen Zustandsgleichung:

(2)
\begin{align} d\dot{H} = \dot{m} \cdot c_p \cdot d\vartheta \end{align}

dem Wärmedurchgangsansatz:

(3)
\begin{align} d\dot{H} = k \cdot A \cdot \frac{dx}{L} \cdot \left( \vartheta_1(x) - \vartheta_2(x) \right) \end{align}

und der Einführung des vorzeichenbehafteten Kapazitätsstroms

(4)
\begin{align} \dot{W} = \dot{m} \cdot c_p \end{align}

kann die Energiebilanz für den warmen Strom 1 erweitert werden zu:

(5)
\begin{align} \dot{W}_1 \cdot d\vartheta_1 + k \cdot \frac{A}{L} \cdot \left( \vartheta_1(x) - \vartheta_2(x) \right) \cdot dx = 0 \end{align}

Analog ergibt sich für den kalten Strom 2:

(6)
\begin{align} \dot{W}_2 \cdot d\vartheta_2 + k \cdot \frac{A}{L} \cdot \left( \vartheta_2(x) - \vartheta_1(x) \right) \cdot dx = 0 \end{align}

Die Temperaturverläufe beider Ströme nähern sich im Unendlichen einer gemeinsamen Temperatur, der Ausgleichstemperatur. Eine Ausnahme bildet dabei der Fall Gegenstromwärmeübertrager bei betragsmäßig gleich großen Kapazitätsströmen. Hierbei stellt sich im Unendlichen keine Ausgleichstemperatur ein. Dieser Fall muss daher gesondert betrachtet werden.

Lösung für den allgemeinen Fall

Zur Lösung der Differentialgleichungen wird die Enthalpiebilanz des unendlich langen Wärmeübertragers ab der Stelle x herangezogen.

(7)
\begin{align} \dot{W}_1 \cdot \left( \vartheta_1(x) - \vartheta_\infty \right) = \dot{W}_2 \cdot \left( \vartheta_2(x) - \vartheta_\infty \right) \end{align}

Umgestellt nach der Temperatur von Strom 2 ergibt sich:

(8)
\begin{align} \vartheta_2 = \vartheta_\infty - \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \cdot \left( \vartheta_1 - \vartheta_\infty \right) \end{align}

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung für Strom 1 ergbit sich folgende Differentialgleichung:

(9)
\begin{align} \dot{W}_1 \cdot d\vartheta_1 + k \cdot \frac{A}{L} \cdot \left( \vartheta_1 - \vartheta_\infty + \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \cdot \left( \vartheta_1 - \vartheta_\infty \right) \right) \cdot dx = 0 \end{align}

Nach der Trennung der Veränderlichen ergibt sich:

(10)
\begin{align} \frac{d\left( \vartheta_1-\vartheta_\infty\right) }{\vartheta_1 - \vartheta_\infty} = \frac{k \cdot A}{\dot{W}_1 \cdot L} \cdot \left( 1 + \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \right) \cdot dx \end{align}

Nach der Integration wird folgende Gleichung erhalten.

(11)
\begin{align} \vartheta_1 - \vartheta_\infty = c_1 \cdot \exp \left( - \frac{k \cdot A}{\dot{W}_1} \cdot \left( 1 + \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \right) \cdot \frac{x}{L} \right) \end{align}

In analoger Vorgehensweise wird für die Temperatur von Strom 2 folgende Gleichung erhalten:

(12)
\begin{align} \vartheta_2 - \vartheta_\infty = c_2 \cdot \exp \left( - \frac{k \cdot A}{\dot{W}_2} \cdot \left( 1 + \frac{\dot{W}_2}{\dot{W}_1} \right) \cdot \frac{x}{L} \right) \end{align}

Für die Bestimmung der Integrationskonstanten definiert Prof. Beckmann verschiedene Fälle von Randbedingungen je nach den gegebenen Temperaturen, zu sehen in nachfolgender Tabelle. Dabei wird nur nach der Position der Temperaturen am Wärmeübertrager unterschieden, nicht jedoch nach Eintritt oder Austritt.

~ Fall-Nr. ~ Wahl der Randbedingungen ~ vorgegebene Temperaturen für Gleichstrom ~ vorgegebene Temperaturen Gegenstrom
1 $\vartheta_{1,x+ 0} \text{und } \vartheta_{2,x0}$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_2'$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_2''$
2 $\vartheta_{1,x+ 0} \text{und } \vartheta_{2,xL}$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_2''$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_2'$
3 $\vartheta_{1,x+ 0} \text{und } \vartheta_{1,xL}$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_1''$ $\vartheta_1' \text{und } \vartheta_1''$
4 $\vartheta_{1,x+ L} \text{und } \vartheta_{2,xL}$ $\vartheta_1'' \text{und } \vartheta_2''$ $\vartheta_1'' \text{und } \vartheta_2'$
5 $\vartheta_{1,x+ L} \text{und } \vartheta_{2,x0}$ $\vartheta_1'' \text{und } \vartheta_2'$ $\vartheta_1'' \text{und } \vartheta_2''$
6 $\vartheta_{2,x+ 0} \text{und } \vartheta_{2,xL}$ $\vartheta_2' \text{und } \vartheta_2''$ $\vartheta_2' \text{und } \vartheta_2''$

Für den Fall 1 können durch Einsetzen der Randbedingungen in den Differentialgleichungen für die Integrationskonstanten folgende Werte ermittelt werden.

(13)
\begin{align} c_1 + \vartheta_{1,x0} - \vartheta_\infty \end{align}
(14)
\begin{align} c_1 + \vartheta_{1,x0} - \vartheta_\infty \end{align}

Somit ergeben sich als Lösungen für den allgemeinen Fall

(15)
\begin{align} \frac{\vartheta_{1(x)} - \vartheta_\infty}{\vartheta_{1,x+ 0}-\vartheta_\infty} \exp \left( - \frac{k \cdot A}{\dot{W}_1} \cdot \left( 1 + \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \right) \cdot \frac{x}{L} \right) \end{align}
(16)
\begin{align} \frac{\vartheta_{2(x)} - \vartheta_\infty}{\vartheta_{2,x+ 0}-\vartheta_\infty} \exp \left( - \frac{k \cdot A}{\dot{W}_2} \cdot \left( 1 + \frac{\dot{W}_2}{\dot{W}_1} \right) \cdot \frac{x}{L} \right) \end{align}

Die Gleichung für die Ausgleichstemperatur kann durch Umstellen der Enthalpiebilanz des unendlich langen Wärmeübertragers erhalten werden.

(17)
\begin{align} \vartheta_\infty + \frac{\dot{W}_1 \cdot \vartheta_{1,x=0} + \dot{W}_2 \cdot \vartheta_{2,x0}}{\dot{W}_1 + \dot{W}_2} \end{align}

Die Lösungen für die acht Randbedingungen werden zu den folgenden Gleichungen verallgemeinert. Dazu werden die dimensionslose Temperatur, die vorzeichenbehafteten Kapazitätsströme sowie die Stanton-Zahlen eingeführt.

(18)
\begin{align} \Theta_i = \frac{\vartheta_i(x)-\vartheta_\infty}{\vartheta_{iR}-\vartheta_\infty} \end{align}
(19)
\begin{align} \Omega_1 + \frac{\dot{W}_1}{\dot{W}_2} \text{ bzw. } \Omega_2 \frac{\dot{W}_2}{\dot{W}_1} \end{align}
(20)
\begin{align} \textit{St} = \frac{k \cdot A}{\dot{W}_1} \end{align}
(21)
\begin{align} \textit{St}_i = \frac{k \cdot A \cdot x_i}{\dot{W}_i \cdot L} \end{align}
(22)
\begin{align} \Theta_i = c_{iR} \cdot \exp \left( - \left( 1+\Omega_i \right) \cdot \textit{St}_i (x) \right) \end{align}
Die Integrationskonstanten und die Ausgleichstemperatur werden mit den in der folgenden Tabelle gezeigten Gleichungen abhängig vom gewählten Fall bestimmt.
$\vartheta_{1R}$ $\vartheta_{2R}$ $c_{1R}$ $c_{2R}$ $x_1$ $x_2$ $\vartheta_\infty$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{2,x=0}$ $1$ $1$ $x$ $x$ $\dfrac{\vartheta_{1R} \cdot \Omega_1+\vartheta_{2R}}{\Omega_1+1}$
$\vartheta_{1,x=L}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $1$ $1$ $x-L$ $x-L$ $\dfrac{\vartheta_{2R} \cdot \Omega_2+\vartheta_{1R}}{\Omega_2+1}$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $1$ $1$ $x$ $x-L$ $\dfrac{\vartheta_{1R} \cdot \Omega_1+\vartheta_{2R} \cdot \exp\left(\textit{St} \cdot \left(1+\Omega_1\right)\right)}{\Omega_1+\exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1))}$
$\vartheta_{1,x=L}$ $\vartheta_{2,x=0}$ $1$ $1$ $x-L$ $x$ $\dfrac{\vartheta_{2R} \cdot \Omega_2+\vartheta_{1R} \cdot \exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1))}{\Omega_2+\exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1))}$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{1,x=L}$ $1$ $-\Omega_1$ $x$ $x-L$ $\dfrac{\vartheta_{1R}-\vartheta_{2R} \cdot \exp\textit{St}\cdot (1+\Omega_1))}{1-\exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1))}$
$\vartheta_{2,x=0}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $-\Omega_2$ $1$ $x-L$ $x$ $\dfrac{\vartheta_{2R}-\vartheta_{1R} \cdot \exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1))}{1-\exp(\textit{St} \cdot (1+\Omega_1)]}$

Sonderfall: gleichgroße Kapazitätsströme im Gegenstrom

Für den Sonderfall der betragsmäßig gleichgroßen Kapazitätsströme im Gegenstrom existiert keine Ausgleichstemperatur. Für diesen Fall werden die Differentialgleichungen addiert.

(23)
\begin{align} 0 = \dot{W}_1 \cdot d\vartheta_1 + \dot{W}_2 \cdot d\vartheta_2 \end{align}

Da für den Sonderfall gilt

(24)
\begin{align} \dot{W}_1 = -\dot{W}_2 \end{align}

wird diese Gleichung vereinfacht zu:

(25)
\begin{align} 0 = d\vartheta_1 - d\vartheta_2 \end{align}

Nach der Integrtion wird folgende Lösung erhalten:

(26)
\begin{align} \vartheta_1 + c_3 = \vartheta_2 \end{align}

Mit dieser Gleichung wird die Temperatur von medium 2 in der Energiebilanz des Querschnittselements subtituiert.

(27)
\begin{align} \vartheta_{1}(x) = c_3 \cdot \frac{k \cdot A}{ \dot{W}_1 \cdot L} \cdot x + c_4 \end{align}
(28)
\begin{align} \vartheta_{2}(x) = c_3 \cdot \left( 1+\frac{k \cdot A}{ \dot{W}_1 \cdot L} \cdot x \right) + c_4 \end{align}

Analog zu den allgemeinen Fällen werden die Integrationskonstanten durch Einsetzen der Randbedingungen bestimmt. Für den Fall 1 werden die Integrationskonstanten folgendermaßen bestimmt.

(29)
\begin{align} c_3 + \vartheta_{2,x=0} - \vartheta_{1,x0} \end{align}
(30)
\begin{align} c_4 + \vartheta_{1,x0} \end{align}

Damit werden als Lösung für den Fall 1 erhalten:

(31)
\begin{align} \frac{\vartheta_1(x)-\vartheta_{1,x+ 0}}{\vartheta_{2,x=0}-\vartheta_{1,x=0}}\frac{k \cdot A}{\dot{W}_1 \cdot L} \cdot \end{align}
(32)
\begin{align} \frac{\vartheta_2(x)-\vartheta_{1,x+ 0}}{\vartheta_{2,x=0}-\vartheta_{1,x=0}}\frac{k \cdot A}{\dot{W}_1 \cdot L} \cdot x +1 \end{align}

Zur Lösung des Sonderfalls werden die selben Lösungsansätze wie für die allgemeinen Fälle verwendet. Lediglich die Definition der dimensionslosen Temperatur wird abgewandelt.

(33)
\begin{align} \Theta_i = \frac{\vartheta_i(x)-\vartheta_{1R}}{\vartheta_{2R}-\vartheta_{1R}} \end{align}
Die Werte für die Integrationskonstanten und die dimensionslose Temperatur sind in der nachfolgenden Tabelle aufgezeigt.
$\vartheta_{1R}$ $\vartheta_{2R}$ $\Theta_{1}$ $\Theta_{2}$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{2,x=0}$ $\textit{St}_1$ $\textit{St}_1+1$
$\vartheta_{1,x=L}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $\textit{St}_1-\textit{St}$ $\textit{St}_1-\textit{St}+1$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $\dfrac{\textit{St}_1}{\textit{St}+1}$ $\dfrac{\textit{St}_1+1}{\textit{St}+1}$
$\vartheta_{1,x=L}$ $\vartheta_{2,x=0}$ $\dfrac{\textit{St}_1-\textit{St}}{1-\textit{St}}$ $\dfrac{\textit{St}_1-\textit{St}+1}{1-\textit{St}}$
$\vartheta_{1,x=0}$ $\vartheta_{1,x=L}$ $\dfrac{\textit{St}_1}{\textit{St}}$ $\dfrac{\textit{St}_1+1}{\textit{St}}$
$\vartheta_{2,x=0}$ $\vartheta_{2,x=L}$ $\dfrac{\textit{St}-\textit{St}_1+1}{\textit{St}}$ $\dfrac{\textit{St}-\textit{St}_1}{\textit{St}}$

Methode B: Betriebscharakteristik

Die zur Beschreibung eines Wärmeübertragers notwendigen Parameter werden mit den folgenden Überlegungen auf sieben Einflussgrößen reduziert:

  • Für die Berechnung der Wärmeübertragung sind Temperaturdifferenzen von größerer Bedeutung als absolute Temperaturen.
  • Die Kapazitätsströme sind von größerer Bedeutung als die Massenströme.

Die Einflussgrößen lauten dann:

  • die lokale Temperaturdifferenz zwischen den Strömen
(34)
\begin{align} \vartheta_1(x)-\vartheta_2(x) \end{align}
  • die Temperaturänderung von Strom 1
(35)
\begin{align} \vartheta_{1}''-\vartheta_{1}' \end{align}
  • die Temperaturänderung von Strom 2
(36)
\begin{align} \vartheta_{2}''-\vartheta_{2}' \end{align}
  • der Kapazitätsstrom von Strom 1
(37)
\begin{align} \dot{C}_1 = \dot{m}_1 \cdot c_{p,1} \end{align}
  • der Kapazitätsstrom von Strom 2
(38)
\begin{align} \dot{C}_2 = \dot{m}_2 \cdot c_{p,2} \end{align}
  • das Produkt von Übertragerfläche und Wärmedurchgangskoeffizient
(39)
\begin{align} k \cdot A \end{align}
  • der übertragene Wärmestrom
(40)
\begin{align} \dot{Q} \end{align}

Im Gegensatz zum im vorherigen Kapitel definierten vorzeichenbehafteten Kapazitätsstrom ändert der Kapazitätsstrom hier sein Vorzeichen nicht bei Umkehr der Stromrichtung.
Aus diesen Einflussgrößen werden dann die folgenden dimensionslosen Kennzahlen gebildet:

  • die dimensionslose Temperaturänderung
(41)
\begin{align} \Phi_i = \frac{|\Delta \vartheta_i|}{\vartheta_{1}' - \vartheta_{2}'} \end{align}
  • die Übertragungszahl N
(42)
\begin{align} N_i = \frac{k \cdot A}{\dot{C}_i} \end{align}
  • das Kapazitätsstromverhältnis R
(43)
\begin{align} R_1 + \frac{\dot{C}_1}{\dot{C}_2} \text{ bzw. } R_2 \frac{\dot{C}_2}{\dot{C}_1} \end{align}

Zur Berechnung eines Wärmeübertragers wird dann eine Gleichung zur Berechnung der dimensionslosen Temperaturänderung verwendet, die nur von der Übertragungszahl und dem Kapazitätsstromverhältnis abhängt. Diese Gleichung wird Betriebscharakteristik genannt. Im Folgenden wird die Betriebscharakteristik für einen Gleichstrom-Wärmeübertrager hergeleitet. Dazu werden folgende Annahmen getroffen:

  • Die Außenwände werden als adiabat betrachtet.
  • Der Wärmeübertragungskoeffizient und die Wärmekapazitäten sind über den gesamten Wärmeübertrager konstant.

Mit den Energiebilanzen am infinitesimal kleinen Querschnittselement für beide Ströme wird die folgende Differentialgleichung aufgestellt.

(44)
\begin{align} \frac{d \left( \vartheta_1(x)-\vartheta_2(x) \right)}{\vartheta_1(x)-\vartheta_2(x)}= - k \cdot dA \cdot \left( \frac{1}{\dot{C}_1}-\frac{1}{\dot{C}_2} \right) \end{align}

Nach der Integration von der Eintrittsseite des heißen Stroms zur Austrittsseite des heißen Stroms ergibt sich folgende Gleichung:

(45)
\begin{align} \frac{\vartheta_1''-\vartheta_2''}{\vartheta_1'-\vartheta_2'}=\exp \left( -k \cdot A \cdot \left( \frac{1}{\dot{C}_1}-\frac{1}{\dot{C}_2} \right) \right) \end{align}

Umgestellt nach der dimensionslosen Temperaturänderung ergeben sich:

(46)
\begin{align} \Phi_1+ \frac{1- \exp \left(-\left( \frac{k \cdot A}{\dot{C}_1} + \frac{k \cdot A}{\dot{C}_2} \right) \right)}{1+ \frac{\dot{C}_1}{\dot{C}_2}}\frac{1- \exp \left(- \left( 1+ \frac{\dot{C}_1}{\dot{C}_2} \right) \frac{k \cdot A}{\dot{C}_1}\right)}{1+ \frac{\dot{C}_1}{\dot{C}_2}} \end{align}
(47)
\begin{align} \Phi_2=\frac{1- \exp \left(- \left( 1+ \frac{\dot{C}_2}{\dot{C}_1} \right) \frac{k \cdot A}{\dot{C}_2}\right)}{1+ \frac{\dot{C}_2}{\dot{C}_1}} \end{align}

Nach dem Einsetzen der dimensionslosen Kennzahlen ergibt sich die Betriebscharakteristik.

(48)
\begin{align} \Phi_i = \frac{1 - \exp(-(1+R_i) \cdot N_i)}{1 + R_i} \end{align}

Für den Gegenstrom-Wärmeübertrager ergibt sich bei analoger Vorgehensweise folgende Betriebscharakteristik:

(49)
\begin{align} \Phi_i = \frac{1 - \exp(-(1-R_i) \cdot N_i)}{1 - R_i \cdot \exp(-(1-R_i) \cdot N_i)} \end{align}

Für den Fall von gleich großen Kapazitätsströmen ergibt sich:

(50)
\begin{align} \Phi_i = \frac{N_i}{1+N_i} \end{align}
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